Invers dan Determinan Matriks

Sholihin, 5 November 2011. Dibaca 41316 kali

Matriks 3×3

Mencoba memenuhi permintaan dari sobat Bryan untuk posting tentang invers dan determinan matriks, maka pada postingan kali ini akan mencoba membahas sedikit materi yang berkaitan dengan invers dan determinan matriks.

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Jika m adalah banyaknya baris dari matriks $A$ , dan n adalah banyaknya kolom dari matriks $A$ , maka matriks $A$ mempunyai ordo $m \times n$ , atau ditulis $A_{m\times n}$ .

$A_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

1. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!

$\begin {array} {lcl} A & = & \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \frac {1}{2 \times 3 - 1 \times 5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{6-5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\end{array}$

2. Determinan Matriks

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi. Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ , maka rumus untuk mencari determinan matriks berordo 2×2:

$det A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus.

$A_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}$

$\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = && a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - & a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}$

Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!

$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1$

$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{vmatrix} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}$

$\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} & = & 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 - 1.3.3 - 4.4.1 - 3.1.2 \\ & = & 9 + 8 + 12 - 9 - 16 - 6 \\ & = & -2 \end{array}$

« Teorema Garis Bagi

Pemakaian Matriks untuk Menyelesaikan SPL »

Tulisan yang mungkin berkaitan

Sudah ada 25 Komentar. Ingin menambahkan?

tian mengatakan:

17 Maret 2012 at 21:43 - Balas

koh ,ateri ini tdk bsa download sih pdhal ini materi aq u/ PPL1
- Sholihin mengatakan:
  
  18 Maret 2012 at 08:46 - Balas
  
  Untuk materi ajar PPL artikel di atas bisa dicopy paste di microsoft word, gunakan browser chrome, opera atau internet eksplorer. Tetapi persamaan matematika yang ada tidak bisa diedit di word, karena itu khusus untuk web, gantinya persamaan matematika tersebut bisa disave sebaga gambar.
malazan mengatakan:

5 April 2012 at 22:14 - Balas

dari sekian banyak situs pembelajaran matematika, yang lebih terasa blognya mas ini, saya berterima kasih banyak karena sudah banyak membantu saya karena “bahasa”nya mudah saya pahami
oh ya, ada masukan dari saya:
-jika berkenan, tiap materi diberi cara cepat
-diberi konten swf (flash) karena cara belajar saya lebih cenderung ke visual hehe
trims
- Sholihin mengatakan:
  
  5 April 2012 at 22:47 - Balas
  
  Trimakasih masukannya mas,
  untuk materi yang saya sampaikan sebisa mungkin saya menyampaikan konsep dahuli, agar lebih paham. Untuk cara cepat menurut saya akan lebih efektif kalau konsepnya sudah benar-benar paham, sehingga cara cepat bisa dijadikan alternatif.
  Kontent .swf atau flash juga saya pernah menggunakannya, misal pada postingan vektor posisi suatu titik. Tetapi karena memberatkan blog dan juga mengurangi bandwith hosting, maka saya copot, tapi masih bisa melihat file swf tersebut dengan cara mendownloadnya terlebih dahulu.
  Sekali lagi trimakasih masukannya.
Firman mengatakan:

26 Juni 2012 at 21:58 - Balas

gan . izin copy yah
- Sholihin mengatakan:
  
  26 Juni 2012 at 23:13 - Balas
  
  Silakan, kalau mau di republish diusahakan disertakan sumbernya juga ya. Trus jangan sama persis, biar tidak dianggap duplikat kontent ma om Google.
  Kalau untuk konsumsi pribadi, silakan
URL mengatakan:

26 Juli 2012 at 02:52 - Balas

… [Trackback]…
[...] Read More Infos here: dumatika.com/invers-dan-determinan-matriks/ [...]…
Siti nurmala mengatakan:

28 November 2012 at 10:44 - Balas

Mau tanya nih,cara menyelesaikan invers matriks yang memuat variabel x / y itu gimana ya?
- Sholihin mengatakan:
  
  5 Februari 2013 at 07:01 - Balas
  
  Pada dasarnya sama seperti mencari invers matriks biasa, tetapi ada unsur-unsur matriks tersebut yang memuat sebuah variable.
  - Siti Nurmala mengatakan:
    
    8 Februari 2013 at 07:07 - Balas
    
    Maksudnya gimana tuh?
    Unsur-unsurnya sprti apa?
LAPORAN WORKSHOP PEMBELAJARAN MATEMATIKA « febriliaanjarsari mengatakan:

22 Januari 2013 at 06:25 - Balas

[...] 2011.http://dumatika.com/invers-dan-determinan-matriks/.(online). Diakses tanggal 18 oktober [...]