Barisan dan Deret Aritmatika

Sholihin, 7 Januari 2012. Dibaca 28775 kali

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan barisan maupun pola bilangan. Misalnya nomor rumah mengikuti pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap. Pada kesempatan kali ini, coba sedikit membahas pola bilangan, khususnya barisan dan deret Aritmatika.

Apa yang dimaksud barisan dan deret Aritmatika?

Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan $U_1 , U_2 , U_3 , . . . , U_{n-1}, U_n$ disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan $b$ . Sedangkan suku pertama $U_1 = a$ . Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

$a , (a + b) , (a + 2b) , (a + 3b) , (a + 4b) , . . . . , (a + nb)$

dengan:

$\begin{array} {rcl} a &=& U_1 \\ b &=& U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_n - U_{n-1} \end{array}$

Contoh barisan aritmatika $1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .$ dengan $a = 1, b = 3 - 1 = 2$

Jika $x, y, z$ merupakan barisan aritmatika, maka berlaku $2y = x + z$

Jika pada barisan artimatika disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka $b_{baru} = \frac{b_{lama}}{k + 1}$ dengan k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika perhatikan langkah berikut:

$\begin{array} {rcl} U_1 &=& a \\ U_2 &=& a + b \\ U_3 &=& a + 2b \\ U_4 &=& a + 3b \\ \vdots \\ U_n &=& a+(n-1)b \end{array}$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika $U_n = a + (n-1)b$

Deret Artimatika

Jika $U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n$ merupakan barisan aritmatika, maka

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_n$ merupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan $S_n$ .
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
$Sn deret aritmatika$

$2S_n= n(U_1 + U_n)$
$S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n]$ atau karena $U_n = a + (n-1)b]$ maka

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]$

Keterangan:

$\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}$

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku $2k-1$ dimana $k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli }$ maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

$U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]$

Keterangan:

$\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}$

Ini hanya sedikit uraian mengenai barisan dan deret Aritmatika. Masih banyak pola bilangan yang lain. Ada pertanyaan? Silakan bertanya melalui kolom komentar di bawah.

« Pembuktian Teorema Stewart

Jumlah Besar Sudut Segitiga »

Tulisan yang mungkin berkaitan

Sudah ada 69 Komentar. Ingin menambahkan?

u-taRiiii mengatakan:

2 Februari 2012 at 12:14 - Balas

oooooo…..bgtu yy…???
embb….
mkasiiiiii………..
- zholieh mengatakan:
  
  2 Februari 2012 at 12:40 - Balas
  
  Iya, kurang lebih seperti itu. Sama-sama.
test mengatakan:

18 Februari 2012 at 15:41 - Balas

wew…mantap, untuk jawaban yg diatas
- zholieh mengatakan:
  
  19 Februari 2012 at 05:49 - Balas
  
  Trimakasih, tapi jawaban yang mana yah? yang pola bilangan dari u-tarii po?
rafiiii mengatakan:

18 Februari 2012 at 20:50 - Balas

kk, kalau pada deret aritmatika., rumus banyak suku pada deret aritmatika nya apa??
Contoh:
4 12 20 … 132
ditanya banyak suku pada deret diatas berapa?
rumusnya gmana??
- zholieh mengatakan:
  
  19 Februari 2012 at 06:00 - Balas
  
  Itu adalah mencari nilai n,
  pada deret tersebut diketahui a = 4, b = 8
  Rumus suku ke-n adalah $U_n = a + (n-1)b$ . Suku terakhir menunjukkan banyaknya n.
  $a + (n-1)b = 132$
  $4 + (n - 1)8 = 132$
  $8n = 136$
  $n =17$
  Karena suku terakhir adalah suku ke-17, maka banyaknya suku ada 17.
  Moga bisa dipahami.
  - Rahma mengatakan:
    
    19 Februari 2012 at 10:44 - Balas
    
    penjelasann yang ckupp memuasknn !
    syngx g bsah di COPAZ !
    tp… ttp sj aq ajuninn jempoll !
    mantapp !
Rahma mengatakan:

19 Februari 2012 at 10:40 - Balas

penjelasan yang cukupp memuaskann,,
syangx g bsah d i COPAZ !
tp,,,tetapp ajha aq ajunin jempolll !
Mantapp !
- zholieh mengatakan:
  
  20 Februari 2012 at 04:45 - Balas
  
  Sipp, makasih.
  Sebenarnya bisa dikopas kok, asal tau tricknya. Blognya sengaja diprotect karena udah beberapa kali artikel dikopas mentah-mentah tanpa memberikan link sumbernya.
  - andhi fred mengatakan:
    
    14 Maret 2012 at 12:53 - Balas
    
    plis donk kasitau cara biar bisa di copaz, perlu bgt nih artikel
    - Sholihin mengatakan:
      
      14 Maret 2012 at 13:06 - Balas
      
      Gunakan browser chrome, opera, atau internet explorer. Maka artikel bisa dicopy, silakan gunakan kesempatan tersebut dengan bijaksana.
  - Mukhlis Putra mengatakan:
    
    25 Maret 2012 at 15:40 - Balas
    
    Maksudnya di copas ke mana. Kalau ditulis link sumbernya boleh di copas?
    - Sholihin mengatakan:
      
      25 Maret 2012 at 22:32 - Balas
      
      Boleh kok, tapi kalau bisa jangan kopas sama persis, untuk menghindari duplikat kontent. Karena nanti blogmu akan dianggap kopi paste.
Indar Meliana Nursin mengatakan:

14 Maret 2012 at 13:56 - Balas

Asw. prtanyaan sy, Deret Aritmetika dikthui U3+U6+U9+U12 = 72 ditanya jumlah 14 suku pertma ??
Mohon penjelasan, Trmkasih
- Sholihin mengatakan:
  
  14 Maret 2012 at 14:41 - Balas
  
  Walaikumsalam.
  $U_3 + U_6 + U_9 + U_{12} = 72$
  $(a + 2b) + (a + 5b) + (a + 8b) + (a + 11b) = 72$
  $4a + 26b = 72$
  $2a + 13b = 36$
  DItanya jumlah 14 suku pertama, dari rumus Sn maka S14 bisa dicari.
  $S_{14} = \frac{14}{2}(2a + 13b)$
  $S_{14} = 7(36)$
  $S_{14} = 252$
  Apakah sudah jelas?
Indar Meliana Nursin mengatakan:

14 Maret 2012 at 15:22 - Balas

Ya,, sudah jelas sekali,, harus paham soal dan mengaitkan dg rumus yang ada,, itu yg sy gk bisa. tpi trimakasih ats pnjlsnnya
- Sholihin mengatakan:
  
  14 Maret 2012 at 21:46 - Balas
  
  Itulah mengapa konsep dasar kadang jauh lebih penting daripada cara praktis, karena seringkali kita dihadapkan pada soal yang membutuhkan kreasi dan pengembangan konsep.
  Sama-sama, moga bisa bermanfaat.
irin mengatakan:

15 April 2012 at 08:53 - Balas

mas,mw tanya, kalau suku ke 7 suatu barisan adalah 27 dan suku ke 12 adalah 37, berapakah suku ke 14,
makasi
- Sholihin mengatakan:
  
  15 April 2012 at 09:12 - Balas
  
  Ini barisannya diketahui aritmatika atau tidak? atau hanya sebuah barisan bilangan?
  Misal aritmatika,
  U7 = a + 6b = 27 ………..(1)
  U12 = a + 11b = 37 ………….(2)
  Lakukan substitusi/eliminasi pada persamaan (1) dan (2)
  a + 11b = 37
  a + 6b = 27
  ________________-
  5b = 10
  b = 2 ==> a = 15
  Suku ke-14
  U14 = a + 13b = 15 + 13(2) = 41
  Jadi suku ke-14 nya adalah 41