Barisan dan Deret Aritmatika

Sholihin, 7 Januari 2012. Dibaca 28731 kali

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan barisan maupun pola bilangan. Misalnya nomor rumah mengikuti pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap. Pada kesempatan kali ini, coba sedikit membahas pola bilangan, khususnya barisan dan deret Aritmatika.

Apa yang dimaksud barisan dan deret Aritmatika?

Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan $U_1 , U_2 , U_3 , . . . , U_{n-1}, U_n$ disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan $b$ . Sedangkan suku pertama $U_1 = a$ . Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

$a , (a + b) , (a + 2b) , (a + 3b) , (a + 4b) , . . . . , (a + nb)$

dengan:

$\begin{array} {rcl} a &=& U_1 \\ b &=& U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_n - U_{n-1} \end{array}$

Contoh barisan aritmatika $1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .$ dengan $a = 1, b = 3 - 1 = 2$

Jika $x, y, z$ merupakan barisan aritmatika, maka berlaku $2y = x + z$

Jika pada barisan artimatika disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka $b_{baru} = \frac{b_{lama}}{k + 1}$ dengan k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika perhatikan langkah berikut:

$\begin{array} {rcl} U_1 &=& a \\ U_2 &=& a + b \\ U_3 &=& a + 2b \\ U_4 &=& a + 3b \\ \vdots \\ U_n &=& a+(n-1)b \end{array}$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika $U_n = a + (n-1)b$

Deret Artimatika

Jika $U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n$ merupakan barisan aritmatika, maka

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_n$ merupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan $S_n$ .
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
$Sn deret aritmatika$

$2S_n= n(U_1 + U_n)$
$S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n]$ atau karena $U_n = a + (n-1)b]$ maka

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]$

Keterangan:

$\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}$

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku $2k-1$ dimana $k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli }$ maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

$U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]$

Keterangan:

$\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}$

Ini hanya sedikit uraian mengenai barisan dan deret Aritmatika. Masih banyak pola bilangan yang lain. Ada pertanyaan? Silakan bertanya melalui kolom komentar di bawah.

« Pembuktian Teorema Stewart

Jumlah Besar Sudut Segitiga »

Tulisan yang mungkin berkaitan

Sudah ada 69 Komentar. Ingin menambahkan?

djawadreang mengatakan:

10 Januari 2012 at 00:44 - Balas

hadeuuuh ane nyerah deh klo dikasih rumus beginian mah hahah.,
- Sholihin mengatakan:
  
  10 Januari 2012 at 08:29 - Balas
  
  Kata Ryan de’Nasib jangan menyerah om hahaha
  gak papa om, itung-itung belajar lagi. Mesti dulu dah pernah kan dapet kaya ginian? hee….
  - djawadreang mengatakan:
    
    10 Januari 2012 at 17:56 - Balas
    
    emank sih dulu aku paling pinter disekolah ma yg ginian hahah., sampe2 gurunya sayang banget ma aku., beuh., apalagi gurunya masih gadis., cantik lagi ahahah., ko ga nyambung ya,.
Andank mengatakan:

10 Januari 2012 at 13:12 - Balas

mas, kalo Sn yang ditanya dan selisih yang diketahui gimana cara?
- zholieh mengatakan:
  
  10 Januari 2012 at 13:39 - Balas
  
  Soal lengkapnya bagaimana?
  Biasanya untuk mencari Sn maka suku pertama/suku yang lain, dan selisih juga harus diketahui. Kalau yang diketahui hanya selisih rumus Sn nya sepertinya tidak bisa dicari, hanya mentok di $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)\times selisih]$
  - Andank mengatakan:
    
    10 Januari 2012 at 14:14 - Balas
    
    eh sori, n nya juga diketahui mas. udah tak coba rumusnya. ketemu mas. hahaha males buka buku eh ketemu disini langsung tak coba pake ms.excel eh dapet. mantep dah
    - Sholihin mengatakan:
      
      10 Januari 2012 at 17:42 - Balas
      
      Yupsss, memang harusnya ada faktor yang diketahui lagi.
      Met belajar ya…..
Faisal mengatakan:

10 Januari 2012 at 21:35 - Balas

Kalo gak salah kemaren pas semester awal sempet belajar juga nih deret aritmatika gini, tapi udah lupa sekarang mah,hehehe
- zholieh mengatakan:
  
  11 Januari 2012 at 02:06 - Balas
  
  Ayo mas Faisal, diinget-inget lagi
Noer mengatakan:

11 Januari 2012 at 14:59 - Balas

Mantap deret-deret aritmatikanya mas…
- zholieh mengatakan:
  
  11 Januari 2012 at 20:20 - Balas
  
  Iya mas, makasih. Sebenarnya masih kurang lengkap, tapi repot juga kalo harus nulis semuanya pak.
rizqi mengatakan:

11 Januari 2012 at 19:05 - Balas

komplit banget mas,,
terima kasih:D
- Sholihin mengatakan:
  
  11 Januari 2012 at 20:34 - Balas
  
  Iya sama-sama, met belajar ya.
arip mengatakan:

13 Januari 2012 at 10:19 - Balas

paling suka sama barisan sama deret aritmatika pas sma.
pas UN sama SNMPTN, pasti nyari soal ginian dulu
- zholieh mengatakan:
  
  13 Januari 2012 at 10:22 - Balas
  
  Iya mas, bener tuh pola bilangan juga bakalan muncul di psikotes sekalipun
- jhenie mengatakan:
  
  31 Januari 2012 at 18:48 - Balas
  
  aduch…
  aku paling benci.,.. ama nyari soal kayak gini…
  - zholieh mengatakan:
    
    31 Januari 2012 at 21:11 - Balas
    
    Benci kenapa?
    Bisa dipelajari kok, tenang aja.
    - jhenie mengatakan:
      
      1 Februari 2012 at 18:33 - Balas
      
      hhuuuffff,,,, pokoknya ,, aku benci kalo pakek gitu gituan,,, bikin pusing kepala aja…:-(
      - twistedcable mengatakan:
        
        2 Februari 2012 at 17:13 -
        
        Selain sekedar buat ikut psikotes sih ini banyak kepake di bidang computer science (kebetulan gw orang komputer sih). Kemarin juga keluar di soal tes buat pegawai baru pas ngelamar kerja di bagian soal matematika & logika. Berhubung ini bisa aja keluar di tes pas kita ngelamar kerja, penting dong buat dipelajarin.
        Sebenernya nggak ribet-ribet amet juga sih, cuma emang agak gampang-gampang susah pas nebak-nebak polanya.
      - zholieh mengatakan:
        
        2 Februari 2012 at 20:30 -
        
        Yupps mas, matematika banyak dipake di segala bidang
u-taRiiii mengatakan:

1 Februari 2012 at 18:48 - Balas

nnya lg yy kak…
ad soal bgni
Suatu barisan bilangan : 4-6-1-6-8-2-2-8-10-3-3-….-…… Bilangan selanjutnya adalah….
ini soal.a tu termasuk deret aph yy…???
trus cra pngerjaanya gmna….
aq nyri” g ktmu”i…
- zholieh mengatakan:
  
  2 Februari 2012 at 08:51 - Balas
  
  Kalo menurutku jawabannya 3 dan 10
  Penjelasannya gini:
  lihat dulu angka 1, 2 dan 3. Sebenarnya itu adalah perulanga 1 sebanyak 1 buah, angka 2 sebanyak 2 buah [2 - 2] dan sebelum perulangan itu selisih bilangannya adalah 2 [ 4 - 6, 6 - 8, 8 - 10]
  Jadi kalo diterusin seperti ini
  4 – 6 – 1 – 6 – 8 – 2 – 2 – 8 – 1 0 – 3 – 3 – 3 – 10 – 12 – 4 – 4 – 4 – 4 – 12 – 14 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 14 – 16 – ……