Barisan dan Deret Aritmatika

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan barisan maupun pola bilangan. Misalnya nomor rumah mengikuti pola bilangan ganjil dan pola bilangan genap. Pada kesempatan kali ini, coba sedikit membahas pola bilangan, khususnya barisan dan deret Aritmatika.

Apa yang dimaksud barisan dan deret Aritmatika?

Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan U_1 , U_2 , U_3 , . . . , U_{n-1}, U_n disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan b. Sedangkan suku pertama U_1 = a. Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a , (a + b) , (a + 2b) , (a + 3b) , (a + 4b) , . . . . , (a + nb)

dengan:

\begin{array} {rcl} a &=& U_1 \\ b &=& U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_n - U_{n-1} \end{array}

Contoh barisan aritmatika 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . . dengan a = 1, b = 3 - 1 = 2

Jika x, y, z merupakan barisan aritmatika, maka berlaku 2y = x + z

Jika pada barisan artimatika disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka b_{baru} = \frac{b_{lama}}{k + 1} dengan k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika perhatikan langkah berikut:

\begin{array} {rcl} U_1 &=& a \\ U_2 &=& a + b \\ U_3 &=& a + 2b \\ U_4 &=& a + 3b \\ \vdots \\ U_n &=& a+(n-1)b \end{array}

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika U_n = a + (n-1)b

Deret Artimatika

Jika U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n merupakan barisan aritmatika, maka

U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_nmerupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan S_n.
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
Sn deret aritmatika

2S_n= n(U_1 + U_n)
S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n] atau karena U_n = a + (n-1)b] maka

S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

U_n = S_n - S_{n-1}

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku 2k-1 dimana k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli } maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}

Ini hanya sedikit uraian mengenai barisan dan deret Aritmatika. Masih banyak pola bilangan yang lain. Ada pertanyaan? Silakan bertanya melalui kolom komentar di bawah.

 

Tulisan yang mungkin berkaitan

Sudah ada 72 Komentar. Ingin menambahkan?

  1. fajar mengatakan:

    Dik suatu barisan aritmatik dengan U3 U9 U11=75. Suku tengah =68 dan banyak sukunya 43, maka U43=… Mohon penjelasannya..

    • Sholihin mengatakan:

      Dik suatu barisan aritmatik dengan U3 U9 U11=75.
      Ini U3 + U9 + U1 = 75 atau bagaimana soalnya?
      U_3 + U_9 + U_{11} = 75
      (a + 2b) + (a + 8b) + (a + 10b) = 75
      3a + 20b = 75 \cdots (1)

      U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]
      68 = \frac{1}{2}[a + (a + 42b)]
      136 = 2a + 42b
      a + 21b = 68 \cdots (2)

      Dari persamaan (1) dan (2)
      \begin{matrix} 3a + 20b = 75 \\ a + 21b = 68 \end{matrix} \begin{vmatrix} \times 1\\ \times 3\end{vmatrix}\begin{matrix} 3a + 20b = 75 \\ 3a + 63b = 204 \end{matrix}
      \overline{-43b = -129}
      b = 3
      a = 68 - 21(3) = 5

      U_{43} = a + 42b = 5 + 42(3) = 131
      Jadi suku ke-43 adalah 131

  2. risa mengatakan:

    suku kedua dan kedelapan dari suatu barisan geometri berturut” adalah 12 dan 768 suku kesepuluh barisan tersebut adalah

    • Sholihin mengatakan:

      Diketahui barisan geometri.
      U_n = ar^{(n-1)}
      U_2 = ar = 12 \Leftrightarrow a=\frac{12}{r} …………. (1)
      U_8 = ar^7=768 …………. (2)
      Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2)
      ar^7=768
      (\frac{12}{r})r^7=768
      r^6=64 (kedua ruas dibagi 12)
      r = \sqrt[6]{64}
      r = 2
      r = 2 disubstitusikan ke persamaan (1) untuk mencari nilai a, didapat a = 6
      U_{10} = ar^{(10-1)} = 6(2)^9 = 6(512) = 3072
      Semoga bisa membantu.

  3. ajiz mengatakan:

    Bang, barisan dan deret itu bab di mata kuliah kapita selekta ya? teks book yang abang pake apa? mohon infonya,, pengin pinter juga kayak abang… :)

Tinggalkan balasan.

Nama *
Surel/E-mail *
Situs Web
1 + 7 = ? *

Kategori: Materi Matematika | Ditandai: